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2017/01/24

2017年度 大学入試センター試験~試験分析・学習アドバイス 数ⅡB編~

①総評

問題構成は昨年同様に必答問題2題、選択問題2題(3題中2題選択)の計4題回答
昨年に比べ、誘導が丁寧であり何を用いて計算を進めればよいのかがわかりやすく、基本的な計算力・公式を使いこなせるのかが問われている内容であった。1問は誘導が丁寧で、どの式を用いればよいのかがわかりやすく、三角関数の基本的な式変形、解と係数の関係も基礎的な内容に留まるものであった。第2問は全体として標準的な問題であった。(2)の後半以降は導関数の意味を知っていれば解きやすい内容であった。第3問はここ数年に比べ易しく、典型的な等比数列の問題であり、解きやすいと感じた受験生も多かったと思われる。正答率の低い最後の和の問題も、誘導があるため、思考力というよりは、計算力があれば解けるといった内容であった。第4問は平面ベクトルで、座標を求め、ベクトルの成分表示との関係を理解していれば解ける内容であった。また、ベクトルの垂直条件といった基本的な知識を正しく計算できるかといった内容であった。第5問は確率変数で基本的な内容が多く、例年並みであった。


≪数学ⅡB

必答問題2題+選択問題2題の計4題構成。

数学Ⅱ 60

1問 【30点満点】 必答問題

[1]三角関数

[2]対数関数

 

2問 【30点満点】 必答問題

図形と方程式・微分・積分

(1)曲線外の点を通る接線の方程式

(2)三角形の面積、関数の増減

(3)積分、関数の増減

 

数学B 40

3問 【20点満点】 選択問題

        数列

        (1)等比数列の基礎計算

(2)等比数列

(3)等差×等比数列の和

 

4問 【20点満点】 選択問題

ベクトル

   (1)中心が原点の円周上の点の座標

   (2)ベクトルの成分表示

   (3)ベクトルの垂直条件、内積

 

5問 【20点満点】 選択問題

確率変数

  (1)確率変数の平均、標準偏差の基礎計算

   (2)正規分布表の読み取り

(3)確率密度関数・確率変数



②問題別分析

1

[1]三角関数

2倍角の公式を用いた式変形を行い、解と係数の関係・単位円を用いれば比較的計算も楽な内容である。 については穴埋めであるが故に、に-が入ることはわかってしまうようなセンター試験特有の形式であるが、問題文の③までの条件から判断ができるようにしておきたい。

[2]対数関数

誘導が丁寧なので、書いてある通りに計算を進めれば解ける内容になっている。内分点の座標の求め方で間違えてしまうと、それ以降全て得点できなくなってしまうので、計算ミスには気をつけたい。また、に関しては、底の変換公式を利用する、常用対数の値に関する問題であるが、計算が面倒であり、センター試験ではほとんど出題されないものであったので、戸惑った受験生も多かったと思われる。

 

2

[1]接線の方程式

曲線上にない点を通る接線の方程式を求める問題。誘導通りに計算をすれば接点が求まるが、2次関数では接点の個数と接線の本数が等しくなることを知らないとで戸惑ってしまう。

[2]増減表

三角形の面積を求める際に一辺がy軸上なので、底辺×高さ÷2で求めることに気付ければ解くのは容易な問題である。また後半は「増減を調べると」と問題文にあるので、微分をして増減表を書けば解けることは想像できるであろう。

[3]積分・関数の増減

積分する際に積分区間でどちらの関数の値が大きいのかを判断する必要があるが、マーク式なので間違えた場合でも、気づくことができるようになっている。しかしあわてないためにもきちんと判断できるようになっていることが望ましい。また、に関しても解答群に「減少する」などと書いてあるので、微分をして関数の増減を考えればよいことはわかるであろう。

 

3

[1]等比数列の初項~第3項の積と和

単に代入し、計算するだけなので苦労することはない。

[2]等比数列の初項~第3項の積と和、2次方程式の実数解をもつための条件

については与えられた式に初項~第3項を代入するだけの問題だが、解答欄に という、数字ではなく文字を入れることになるため、戸惑うかもしれない。また2次方程式の実数解をもつための条件(数学Ⅰの範囲)から判別式を使えるかで に関する不等式を導けるかが決まる。

[3]等差×等比数列とその和

誘導通りに④の方程式に代入することができればサシは求まる。また対数の性質を理解できていれば、 の一般項は求められる。また、初項~第n項の和を求める典型的な等差×等比の数列の問題であり、誘導もあるので、計算力があれば解ける内容であった。

 

4

[1]座標平面上における円周上の点の座標

円周上の点の座標を求める問題で、正六角形の隣り合う頂点と中心を結ぶ三角形が正三角形になることと単位円を用いて、半径が2であることに注意をすれば解けるので、難しいと感じる受験生は少なかったと思われる。

[2]ベクトルの成分表示・直線の交点を、1次独立性を用いて求める

まではベクトルの成分表示に関する問題で、成分表示と座標の関係を理解していれば解きやすい内容であった。その後も1次独立性についての知識があれば、それぞれの成分が一致すればよいことはわかるであろう。

[3]ベクトルの垂直条件・内積

までは[2]までの知識で解くことができる。全体を通してこの後のみどう計算したらよいのかの誘導がない。したがって2つのベクトルが垂直ならばその2つのベクトルの内積は0になることを知らないと解けないようになっている。また の値も内積の計算で求めることができるが、途中計算が複雑になるため計算力が必要となる。

5

[1]確率変数の平均(期待値)・標準偏差

昨年同様、確率変数の平均(期待値)・標準偏差の公式を知っていれば解ける問題であったので困る受験生は少なかったと思われる。

[2]正規分布表を用いた確率の近似値

クケは与えられた式に代入し、計算するだけなので解きやすい問題であった。またコサについても正規分布表の読み方を知っていれば、読み取るだけなので解きやすかったと思われる。

[3]連続型確率変数とその確率密度関数

確率密度関数を理解し、積分することで確率変数がある値の範囲内となる確率を求めることができることがわかっていれば は解くことができる。連続型確率変数の平均についての式は与えられているので、 は積分計算さえできれば解ける問題であった。またタチ についても を代入するだけなので難しくはないものであった。

③特筆事項

昨年に比べ、全体的に誘導が丁寧であったため公式を覚えているか、計算ができるかが得点率のカギを握る内容であり、思考力の問われる内容が少ないため、今年は解きやすいと感じた受験生が多かったことであろう。しいて言えば、第1問では常用対数の値を求める問題はセンター試験では10年以上出題されておらず、そこまで難しい内容ではなかったが、戸惑った受験生も多かったと思われる。第3問はここ数年ではめずらしく、誘導も丁寧であり、問題の難易度もそこまで高くないものであったので、ここの得点率が7割を超えられるかのカギになったと思われる。第4問に関しても誘導が丁寧であるので、どう計算すればよいのかがわかりやすかった。

④高校1年生向け勉強アドバイス

これから学習する数学Ⅱ・Bでは、数学Ⅰ・Aの内容を用いる場面が多々あります。そのため数学Ⅰ・Aの基本的な知識を復習しておくことが大切になります。それに加え計算力が必要になるので毎日少しでも数学の問題に触れるようにしましょう。

次年度以降のセンター試験において、今年度の問題のように誘導が丁寧で分かりやすい問題ばかりが出題されるわけではないはずです。したがって確実に高得点を取りたいという方は「なぜその公式を用いると解けるのか」を公式の意味を考えながら学習することが大切です。またすべての公式は定義から導くことができます。単に公式を覚えて演習するだけではなく、公式の意味を考えて演習すると学習が深まり、結果的に覚えることも少なくなります。

⑤高校2年生向け勉強アドバイス

2017年センター試験はここ数年に比べ、易しく基礎的な内容が多く出題されたので受験で数学Ⅱ・Bを用いる方で、解けなかった問題は、なぜ解けなかったのかを振り返ることで、どの分野をどこまで理解しているのかをある程度把握することができます。まずは自分がどの分野が得意・苦手で、基本的な内容をどこまで覚えているか、理解しているかを確認しましょう。

次のステップとして、まずは各単元における基本問題をきちんと解けるようにすることが大切です。「2つのベクトルが垂直」と問題文にあったら「内積=0」といった典型的な解法の流れ等を一つ一つおさえることで、解けるようになる問題はとても多くあります。このような典型的な問題を解く力をつけることでセンター試験の得点率は向上するでしょう。

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